Đỉnh C nằm trên đường thẳng \(\Delta :x+y-2=0\) và có hoành độ dương

Gọi d₁: x - 3y = 0; d_2: x + 5y = 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ pt \(\left\{\begin{matrix} x-3y=0\\x+5y=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(0;0)\)

\(C\in \Delta \Rightarrow C(c;2-c)\)

\(BC\perp d_{1}\Rightarrow BC:3x+y+m=0\)

Điểm \(C(c;2-c)\in BC\Rightarrow 3c+2-c+m=0\Leftrightarrow m=-2c-2\)

\(\Rightarrow BC:3x+y-2c-2=0\)

Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

\(\left\{\begin{matrix} x+5y=0\\3x+y-2c-2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{5c+5}{7}\\y= -\frac{c+1}{7} \end{matrix}\right.\Rightarrow M(\frac{5c+5}{7};-\frac{c+1}{7})\)

Gọi G là trọng tâm của tam giác. Ta có \(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{2}{3}.\frac{5c+5}{7}\\y_{G}=\frac{2}{3}.\frac{c+1}{7} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{G}=\frac{10c+10}{21}\\y_{G}=\frac{-2c-2}{21} \end{matrix}\right.\)

\(\overrightarrow{EC}=(c+2;-4-c);\overrightarrow{EG}=(\frac{10c+52}{21};\frac{-2c-128}{21})\)

Do E, G, C thẳng hàng nên \(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{EG}\) cùng phương

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{10c+52}{21}=\frac{-2c-128}{21}\\c+2=-c-4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow c^{2}-5c-6=0\Leftrightarrow \lbrack\begin{matrix} c=-1\\c=6 \end{matrix}\Rightarrow c=6\Rightarrow C(6;-4)\)

Với \(c=6\Rightarrow M(5;-1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{B}=2x_{M}-x_{C}=4\\y_{B}=2y_{M}-y_{C}=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(4;2)\)