Chứng minh x^2/y+y^2/z+z^2/x>=x/y+y/x+z/x

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\text{VT}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{1}{y}}+\frac{\left(\frac{y}{z}\right)^2}{\frac{1}{z}}+\frac{\left(\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}}\geq \frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\)

Giờ ta cần chỉ ra \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Thật vậy, do $xyz=1$ nên tồn tại các số dương \(a,b,c\) sao cho:

\((x,y,z)=\left(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\right)\)

Bài toán tương đương với

\(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)

Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:

\((ab)^3+(ab)^3+(bc)^3\geq 3b^3ca^2\)

Thực hiện tương tự và cộng theo vế, suy ra:

\(3[(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3]\geq 3(a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2)\)

\(\Leftrightarrow (ab)^3+(bc)^3+(ca)^3\geq a^3bc^2+b^3ca^2+c^3ab^2\)

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)