YOMEDIA
NONE

Chứng minh tan A+tan B+tan C=tan A. tan B. tan C

Cho A, B, C là 3 góc nhọn của tam giác ABC. Chứng minh:

a) \(tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\)

Tính min P với \(P=tanA+tanB+tanC\)

b) \(tan\left(\dfrac{A}{2}\right).tan\left(\dfrac{B}{2}\right)+tan\left(\dfrac{B}{2}\right)tan\left(\dfrac{C}{2}\right)+tan\left(\dfrac{C}{2}\right).tan\left(\dfrac{A}{2}\right)=1\)

Tìm min T với \(T=tan\left(\dfrac{A}{2}\right)+tan\left(\dfrac{B}{2}\right)+tan\left(\dfrac{C}{2}\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Câu b)

    Ta sử dụng 2 công thức chính:

    \(\bullet \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha.\tan \beta}\)

    \(\bullet \tan (90-\alpha)=\frac{1}{\tan \alpha}\)

    Áp dụng vào bài toán:

    \(\text{VT}=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2}\)

    \(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2})\)

    \(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\tan (90-\frac{A+B}{2})(\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2})\)

    \(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{\tan (\frac{A+B}{2})}\)

    \(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{\frac{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}}{1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}}}\)

    \(=\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}+1-\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}=1=\text{VP}\)

    Ta có đpcm.

    Cũng giống phần a, ta biết do ABC là tam giác nhọn nên

    \(\tan A, \tan B, \tan C>0\)

    Đặt \(\tan A=x, \tan B=y, \tan C=z\). Ta có: \(xy+yz+xz=1\)

    Và \(T=x+y+z\)

    \(\Rightarrow T^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\)

    Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy:

    \(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\)

    \(\Rightarrow T^2\geq 3(xy+yz+xz)=3\)

    \(\Rightarrow T\geq \sqrt{3}\Leftrightarrow T_{\min}=\sqrt{3}\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \angle A=\angle B=\angle C=60^0\)

      bởi Ngọc Ánh 22/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON