ON
YOMEDIA
VIDEO_3D

Chứng minh rằng khoảng cách d từ trọng tâm tam giác \(ABC\) đến tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó thỏa mãn hệ thức: \({R^2} - {d^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9}.\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Giả sử tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) và có trọng tâm \(G\). Ta có

    \(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\overrightarrow {OA} }^2} + {{\overrightarrow {OB} }^2} + {{\overrightarrow {OC} }^2}}\\{ = {{\left( {\overrightarrow {GA}  - \overrightarrow {GO} } \right)}^2} +  {{\left( {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GO} } \right)}^2} + \\ {{\left( {\overrightarrow {GC}  - \overrightarrow {GO} } \right)}^2}}\\\begin{array}{l} = {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ - 2\overrightarrow {GO} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + 3{\overrightarrow {GO} ^2}\end{array}\end{array}\)

    Do \(OA=OB=OC=R\) và \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) nên \(3{R^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3{d^2}\).

    Mặt khác

    \(\begin{array}{*{20}{l}}{G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}}\\{ = \dfrac{4}{9}\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right)}\\{ = \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2}} \right.}\\\begin{array}{l}\left. { - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\ = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\end{array}\end{array}\)

    Do đó \(3{R^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} + 3{d^2}\), suy ra  \({R^2} - {d^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9}\).

      bởi Tuấn Tú 23/02/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
AMBIENT

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

MGID

Các câu hỏi mới

 

AMBIENT
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 894_1634779022.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/tieuhoc247
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)