ADMICRO

Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\)

Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\geq 4\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Không giảm tính tổng quát, giả sử a + b + c = 1
    Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a,b,c \(\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right )\)
    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với;
    \(\left ( \frac{4}{1-a}-\frac{1}{a} \right )+\left ( \frac{4}{1-b}-\frac{1}{b} \right )+\left ( \frac{4}{1-c}-\frac{1}{c} \right )\leq 9\Leftrightarrow f(a)+f(b)+f(c)\leq 9\)
    Với \(f(x)=\frac{4}{1-x}-\frac{1}{x}=\frac{5x-1}{x-x^2},x\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right )\)
    Ta đánh giá \(f(x)\frac{5x-1}{x-x^2}\leq 18x-3,\forall x\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right )\Leftrightarrow (3x-1)^2(2x-1)\leq 0,\forall x\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right )\)
    Bất đẳng thức này đúng với \(\forall x\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right )\)
    Do đó \(f(a)+f(b)+f(c)\leq 18(a+b+c)-9=9\) (đpcm)
    Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\), do đó dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức ban đầu là a = b = c

      bởi Lê Viết Khánh 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)