YOMEDIA
NONE

Chứng minh a+b+c>=ab+bc+ca

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1}\ge1\). Cmr a + b + c \(\ge\) ab + bc + ca

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Đặng Trí Nguyên

    Lời giải:

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \((a+b+1)(a+b+c^2)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+1\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c^2}\)

    \(\Rightarrow \frac{1}{a+b+1}\leq \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}\)

    Tương tự cho các phân thức còn lại, suy ra:

    \(1\leq \frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}\leq \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}+\frac{b+c+a^2}{(a+b+c)^2}+\frac{c+a+b^2}{(a+b+c)^2}\)

    \(\Leftrightarrow 1\leq \frac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\)

    \(\Leftrightarrow (a+b+c)^2\leq 2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a+b+c\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

      bởi Đặng Trí Nguyên 05/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON