YOMEDIA
NONE

Chứng minh a/(ab+1)+b/(bc+1)+c/(ca+1)>=3/2

Cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=3.Chứng minh rằng

\(\dfrac{a}{ab+1}+\dfrac{b}{bc+1}+\dfrac{c}{ca+1}\ge\dfrac{3}{2}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Cường Nguyễn

    Chứng minh : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge3\left(x^3y+y^3z+z^3x\right)\)

    \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(\left(x^2-y^2-xy-xz+2yz\right)^2+\left(y^2-z^2-yz-xy+2xz\right)^2+\left(z^2-x^2-xz-yz+2xy\right)^2\right)\ge0\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\dfrac{a}{ab+1}=a-\dfrac{a^2b}{ab+1}\ge a-\dfrac{a^2b}{2\sqrt{ab}}=a-\dfrac{\sqrt{a^3b}}{2}\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

    \(\dfrac{b}{bc+1}\ge b-\dfrac{\sqrt{b^3c}}{2};\dfrac{c}{ca+1}\ge c-\dfrac{\sqrt{c^3a}}{2}\)

    Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

    \(VT\ge3-\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

    Xảy ra khi \(a=b=c=1\)

      bởi Cường Nguyễn 23/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 10

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF