Cho hai đường tròn không đồng tâm \((O ; R)\) và \((O’ ; R’)\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \({\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O' ; R')}}.\)

\(\begin{array}{l}{\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O' ; R')}}\\ \Leftrightarrow   M{O^2} - {R^2} = MO{'^2} - R{'^2}\\ \Leftrightarrow   {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {MO'} ^2} = {R^2} - R{'^2}\\ \Leftrightarrow   \left( {\overrightarrow {MO}  - \overrightarrow {MO'} } \right).\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {MO'} } \right)\\ = {R^2} - R{'^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow   2\overrightarrow {O'O} .\overrightarrow {MI}  = {R^2} - R{'^2}\), trong đó \(I\) là trung điểm  của \(OO’\).

Lấy \(H\) là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(OO’\), ta có

\( \overrightarrow {O'O} .\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {O'O} .\overrightarrow {HI}  = \overrightarrow {OO'} .\overrightarrow {IH} .\)

Từ đó suy ra \(\overline {IH}  = \dfrac{{{R^2} - R{'^2}}}{{2\overline {OO'} }}\) không đổi nên \(H\) là điểm cố định.

Vậy \({\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O' ; R')}}\) khi và chỉ khi \(M \) thuộc đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(OO’\) tại điểm cố định \(H\).

Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đã cho.