Cho giá trị của \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(2\). Hãy chứng minh rằng \(21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\)
Cho giá trị của \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(2\). Hãy chứng minh rằng \(21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\)
Trả lời (1)
-
Tam giác có chu vi bằng \(2\) nên \(a + b + c = 2\).
\(a,b,c\) là ba cạnh của tam giác nên \(a < b + c\) \( \Rightarrow 2a < a + b + c = 2 \Rightarrow a < 1\).
Tương tự ta cũng có \(b,c < 1\) nên \(a,b,c \in \left( {0;1} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) - 21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \\+ 20 \le 0\\ \Leftrightarrow 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) - 21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ + 16\left( {a + b + c} \right) - 12 \le 0\\ \Leftrightarrow 9{a^3} + 9{b^3} + 9{c^3} - 21{a^2} - 21{b^2} - 21{c^2}\\ + 16a + 16b + 16c - 4 - 4 - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{a^3} - 21{a^2} + 16a - 4} \right)\\ + \left( {9{b^3} - 21{b^2} + 16b - 4} \right)\\ + \left( {9{c^3} - 21{c^2} + 16c - 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {9{a^2} - 12a + 4} \right)\\ + \left( {b - 1} \right)\left( {9{b^2} - 12b + 4} \right)\\ + \left( {c - 1} \right)\left( {9{c^2} - 12c + 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right){\left( {3a - 2} \right)^2}\\ + \left( {b - 1} \right){\left( {3b - 2} \right)^2}\\ + \left( {c - 1} \right){\left( {3c - 2} \right)^2} \le 0\end{array}\)
Dễ thấy \(a < 1 \Rightarrow a - 1 < 0\) và \({\left( {3a - 2} \right)^2} \ge 0,\forall a\) nên \(\left( {a - 1} \right){\left( {3a - 2} \right)^2} \le 0,\forall a \in \left( {0;1} \right)\).
Tương tự,
\(\begin{array}{l}\left( {b - 1} \right){\left( {3b - 2} \right)^2} \le 0,\forall b \in \left( {0;1} \right)\\\left( {c - 1} \right){\left( {3c - 2} \right)^2} \le 0,\forall c \in \left( {0;1} \right)\end{array}\)
Do đó bđt trên luôn đúng với mọi \(a,b,c \in \left( {0;1} \right)\).
Vậy \(21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\) (đpcm).
bởi Long lanh 17/07/2021Like (0) Báo cáo sai phạm
Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!
Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản
Các câu hỏi mới
-
hàm số y=-3x² x-2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây? A. (1/6; ∞) B. (-∞;1/6) C. (-1/6; ∞) D. ( ∞;1/6)
23/11/2022 | 0 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
Viết phương trình đường tròn (C) trong trường hợp sau: (C) có tâm I(3 ; – 7) và đi qua điểm A(4 ; 1)
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Tìm điểm P thuộc (E) thoả mãn OP = 2,5.
24/11/2022 | 1 Trả lời