YOMEDIA
NONE

Cho giá trị của \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(2\). Hãy chứng minh rằng \(21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\)

Cho giá trị của \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng \(2\). Hãy chứng minh rằng \(21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Tam giác có chu vi bằng \(2\) nên \(a + b + c = 2\).

    \(a,b,c\) là ba cạnh của tam giác nên \(a < b + c\) \( \Rightarrow 2a < a + b + c = 2 \Rightarrow a < 1\).

    Tương tự ta cũng có \(b,c < 1\) nên \(a,b,c \in \left( {0;1} \right)\).

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) - 21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \\+ 20 \le 0\\ \Leftrightarrow 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) - 21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ + 16\left( {a + b + c} \right) - 12 \le 0\\ \Leftrightarrow 9{a^3} + 9{b^3} + 9{c^3} - 21{a^2} - 21{b^2} - 21{c^2}\\ + 16a + 16b + 16c - 4 - 4 - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{a^3} - 21{a^2} + 16a - 4} \right)\\ + \left( {9{b^3} - 21{b^2} + 16b - 4} \right)\\ + \left( {9{c^3} - 21{c^2} + 16c - 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {9{a^2} - 12a + 4} \right)\\ + \left( {b - 1} \right)\left( {9{b^2} - 12b + 4} \right)\\ + \left( {c - 1} \right)\left( {9{c^2} - 12c + 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right){\left( {3a - 2} \right)^2}\\ + \left( {b - 1} \right){\left( {3b - 2} \right)^2}\\ + \left( {c - 1} \right){\left( {3c - 2} \right)^2} \le 0\end{array}\)

    Dễ thấy \(a < 1 \Rightarrow a - 1 < 0\) và \({\left( {3a - 2} \right)^2} \ge 0,\forall a\) nên \(\left( {a - 1} \right){\left( {3a - 2} \right)^2} \le 0,\forall a \in \left( {0;1} \right)\).

    Tương tự,

    \(\begin{array}{l}\left( {b - 1} \right){\left( {3b - 2} \right)^2} \le 0,\forall b \in \left( {0;1} \right)\\\left( {c - 1} \right){\left( {3c - 2} \right)^2} \le 0,\forall c \in \left( {0;1} \right)\end{array}\)

    Do đó bđt trên luôn đúng với mọi \(a,b,c \in \left( {0;1} \right)\).

    Vậy \(21\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 20 + 9\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\) (đpcm).

      bởi Long lanh 17/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON