Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\) (1). CMR \(a+b+c\leq 3\)
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+abc=4\) (1). CMR \(a+b+c\leq 3\)
Trả lời (1)
-
Nhận xét:
\(\forall \Delta ABC\) ta có \(cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosA.cosB.cosC=1\)
Từ (1) ta có \(a, b, c\in (0;2)\)
Đặt \(a=2cosA, b=2cosB, c=2cosC\)
Khi (1) trở thành \(cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosA.cosB.cosC=1\Rightarrow A,B,C\) là góc \(\Delta\)
\(a+b+c=2cosA+2cosB+2cosC\)
\(=4cos\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2(1-2sin^2\frac{C}{2})\)
\(=4sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-4sin^2\frac{C}{2}+2\)
\(a+b+c\leq 3\)
\(\Leftrightarrow -4sin^2\frac{C}{2}+4sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-1\leq 0\)
\(\Leftrightarrow -[4sin^2\frac{C}{2}-4sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+ cos^2\frac{A-B}{2}]-sin^2\frac{A-B}{2}\leq 0\)
\(\Leftrightarrow -(2sin\frac{C}{2}-cos\frac{A-B}{2})^2-sin^2\frac{A-B}{2}\leq 0\) đúng
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(A=B=C=60^0\Leftrightarrow a=b=c=1\)bởi Nguyễn Vân 09/02/2017Like (0) Báo cáo sai phạm
Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!
Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản
Các câu hỏi mới
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
Viết phương trình đường tròn (C) trong trường hợp sau: (C) có tâm I(3 ; – 7) và đi qua điểm A(4 ; 1)
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
25/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Tìm điểm P thuộc (E) thoả mãn OP = 2,5.
24/11/2022 | 1 Trả lời
-
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H), biết (H) đi qua hai điểm M(-1 ; 0) và \(N(2;2\sqrt 3 )\)
25/11/2022 | 1 Trả lời