Cho ba điểm \(A(-1 ; 1), B(3 ; 1), C(2 ; 4).\) Tìm tọa độ trực tâm \(H\), trọng tâm \(G\) và tâm \(I\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Hãy kiểm nghiệm lại hệ thức \(\overrightarrow {IH} = 3\overrightarrow {IG} \).

Gọi \(H({x_1} ; {y_1})\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\end{array} \right..\) Từ đó dẫn đến \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 2 = 0\\{x_1} + {y_1} - 4 = 0\end{array} \right..\)

Suy ra \(H=(2 ; 2).\)

Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{ - 1 + 3 + 2}}{3} = \dfrac{4}{3}\\{y_G} = \dfrac{{1 + 1 + 4}}{3} = 2\end{array} \right.\)

Giả sử \(I({x_2} ; {y_2})\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Khi đó \(IA=IB\) và \(IA=IC.\)

Từ \(IA=IB\) suy ra

\({({x_2} + 1)^2} + {({y_2} - 1)^2}\)

\(= {({x_2} - 3)^2} + {({y_2} - 1)^2}.\)       (1)

Từ \(IA=IC\) suy ra

\({({x_2} + 1)^2} + {({y_2} - 1)^2}\)

\(= {({x_2} - 2)^2} + {({y_2} - 4)^2}.\)        (2)

Từ (1) ta có \(x_1=1\), thay vào (2) được \(y_2=2\). Vậy \(I=(1 ; 2).\)

Như vậy \(\overrightarrow {IH}  = (1 ; 0) ;  \overrightarrow {IG}  = \left( {\dfrac{1}{3} ; 0} \right)\).

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG} \).