Tìm điểm M \(\in (C)\) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất

Tìm điểm \(M\in (C)\) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất

Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C), Khi đó \(M(a,1+\frac{2}{a-1}).\)

Hai đường tiệm cận của đồ thị là: \((d_{1})x=1,\) và \((d_{2})y=1.\)

Ta có khoảng cách từ M đến \((d_{1})\) là:

\(d(M,d_{1})=\frac{\left | a-1 \right |}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\left | a-1 \right |\)

Khoảng cách từ M đến \((d_{2})\) là:

\(d(M,d_{2})=\frac{\left | 1+\frac{2}{a-1} 1\right |}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}=\left | \frac{2}{a-1} \right |\)

Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là:

\(d(M,d_{1})+d(M,d_{2})=\left | a-1 \right |+\left | \frac{2}{a-1} \right |\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương \(\left | a-1 \right |\) và \(\left | \frac{2}{a-1} \right |\) ta có:

\(\left | a-1 \right |+\left | \frac{2}{a-1} \right |\geq 2\sqrt{2}\), dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 

\(\left | a-1 \right |=\left | \frac{2}{a-1} \right |\Leftrightarrow (a-1)^{2}=\left | 2 \right |\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix}a^{2}-2a+1=2 \\ a^{2}-2a+1=-2 \end{matrix}\Leftrightarrow a=1\pm \sqrt{2}\)

Tương ứng ta có 2 điểm M thỏa mãn là:

\(M_{1}(1+\sqrt{2},1+\sqrt{2})\) và \(M_{2}(1-\sqrt{2},1-\sqrt{2})\)