Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AD = 2AB

Ta chứng minh tam giác DEF là tam giác vuông cân tại E .

Gọi P là điểm đối xứng của D qua A . Tam giác BDP vuông cân tại B nên EP = ED.

Mặt khác do tam giác DEF cân tại E nên ED = EF nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DPF.

Suy ra \(\widehat{DEF}=\widehat{PFD}\Rightarrow EBFD\) là tứ giác nội tiếp

Suy ra \(\widehat{DEF}=\widehat{DBF}=90^0\)
Tam giác DEF vuông cân tại E . Đường thẳng DE qua E và vuông góc với EF có phương trình là:

\(DE: x-2y+6=0\)  Tọa độ điểm \(D = DE\ \cap\) d là nghiệm của hệ:\(\left\{\begin{matrix} x-2y+6=0\\ x+y=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow D(-2;2)\)

Xét tam giác vuông EDA có 3EA = AB = AD, \(DE^2=AD^2+AE^2=10AE^2\)

Vì \(A\in d'\Rightarrow A(a;8-3a), a\in Z\) ta có phương trình

\(4^2+2^2=10\left [ (a-2)^2+(4-3a)^2 \right ]\Leftrightarrow 5a^2-14a+9=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=1\\ a=\frac{9}{5} \end{matrix}\) loại

Vậy A (1;5)

Ta có \(\overline{EB}=-2\overline{EA}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_B-2=2\\ y_B-4=-2 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(4;2)\)

Ta có \(\overline{DC}=2\overline{AB}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_C+2=6\\ y_C-2=-6 \end{matrix}\right.\Rightarrow C(4;-4)\)

Vậy tọa độ bốn điểm cần tìm là A(1;5), B(4;2), C (4;-4), D (-2;2)

Bài toán này có thể chứng minh tứ giác EBFD nội tiếp bằng cách chỉ ra điểm M cách đều 4 điểm E, B, F, D với M là trung điểm DF.