Xét tính tăng giảm của các dãy số sau đây: \(u_{n}=n-\sqrt{n^{2}-1}\)?

Ta có:

\(\begin{align} & {{u}_{n+1}}=n+1-\sqrt{{{(n+1)}^{2}}-1} \\ & =\frac{{{(n+1)}^{2}}-[{{(n+1)}^{2}}-1]}{(n+1)+\sqrt{{{(n+1)}^{2}}-1}} \\ & =\frac{1}{(n+1)+\sqrt{{{(n+1)}^{2}}-1}} \\ & \Rightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{(n+1)+\sqrt{{{(n+1)}^{2}}-1}}-\frac{1}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}<0 \\ & \Rightarrow (n+1)+\sqrt{{{(n+1)}^{2}}-1}>n+\sqrt{{{n}^{2}}-1} \\ \end{align}\)

Do đó dãy số đã cho là dãy số giảm.

Chọn B.