Cho dãy số (\(u_{n}\)) với \(\left\{\begin{matrix}u_{1}=1\\ u_{n+1}=u_{n}+(-1)^{2n+1}\end{matrix}\right.\) Số hạng tổng quát \(u_{n}\) của dãy số là số hạng nào?

Ta có:

\(\begin{align} & {{u}_{2}}={{u}_{1}}+{{(-1)}^{3}}=1-1=0=2-2 \\ & {{u}_{3}}={{u}_{2}}+{{(-1)}^{5}}=0-1=-1=2-3 \\ & {{u}_{4}}={{u}_{3}}+{{(-1)}^{7}}=-1-1=-2=2-4 \\ \end{align}\)

Từ đó, ta dự đoán: \({{u}_{n}}=2-n\)

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1 ta có: \({{u}_{1}}=1=2-1\) nên đúng với n = 1.
Gỉa sử với mọi n = k ta có: \({{u}_{k}}=2-k\)

Ta chứng minh đúng với n = k +1, tức là chứng minh:

\({{u}_{k+1}}=2-(k+1)=1-k\)

Thật vậy theo giả thuyết ta có:

\({{u}_{k+1}}={{u}_{k}}+{{(-1)}^{2k+1}}=2-k-1=1-k\)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Chọn A.