Xét tất cả các số thực x, y sao cho \({{25}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}}}^{{{a}^{3}}}\) với mọi số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+8y\) bằng

Giả sử x, y thỏa \({{25}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}}}^{{{a}^{3}}}\) với mọi số thực dương a.

Ta có \(P = {x^2} + {y^2} - 4x + 8y \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 8y - P = 0\)

Suy ra điểm M (x;y) thuộc đường trồn tâm I(2;-4) và bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + P}  = \sqrt {20 + P} \)

\({25^{5 - {y^2}}} \ge {a^{6x - {{\log }_3}}}^{{a^3}} \Leftrightarrow \left( {5 - {y^2}} \right).3 \ge \left( {6x - {{\log }_3}{a^3}} \right){\log _3}a \Leftrightarrow \left( {5 - {y^2}} \right).3 \ge \left( {6x - 3{{\log }_3}a} \right){\log _3}a\)

Đặt \(t = {\log _3}a,t \in R\)

Suy ra \(\left( {5 - {y^2}} \right).3 \ge \left( {6x - 3t} \right)t \Leftrightarrow  - 3{t^2} + 6xt - 15 + 3{y^2} \le 0\) 

Theo đề bài ta có \({{25}^{5-{{y}^{2}}}}\ge {{a}^{6x-{{\log }_{3}}}}^{{{a}^{3}}}\) đúng với mọi số thực đương a nên \( - 3{t^2} + 6xt - 15 + 3{y^2} \le 0\) đúng với mọi t \(\in\) R

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}
 - 3 < 0\\
{\left( {3x} \right)^2} + 3\left( { - 15 + 3{y^2}} \right) \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 9{x^2} + 9{y^2} - 45 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 5\)

Suy ra tập hợp các điểm M (x; y) là hình tròn tâm O (0;0) và bán kính \({R_2} = \sqrt 5 \).

Vậy để tồn tại cặp (x;y) thì đường tròn (I; \({R_2}\)) và hình tròn (O; \(\sqrt 5 \)) ) phải có điểm chung,

Do đó \(IO \le {R_1} + \sqrt 5  \Leftrightarrow \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  \le \sqrt {20 + P}  + \sqrt 5  \Leftrightarrow \sqrt 5  \le \sqrt {20 + P}  \Leftrightarrow P \ge  - 15\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -15