Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| {{Z}^{2}} \right|=\left| Z-\overline{Z} \right|\) và \(\left| \left( Z-2 \right)\left( \overline{Z}-2i \right) \right|={{\left| Z+2i \right|}^{2}}\)?

\(\begin{array}{l}
\left| {\left( {z - 2} \right)\left( {\overline z  - 2i} \right)} \right| = {\left| {z + 2i} \right|^2} \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right|\left| {\overline z  - 2i} \right| = \left| {z + 2i} \right|\left| {\overline z  - 2i} \right|\\
 \Leftrightarrow \left| {\overline z  - 2i} \right|.\left( {\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right|} \right)
\end{array}\)

TH1: \(\left| {\overline z  - 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \overline z  = 2i \Leftrightarrow z =  - 2i\)

TH2: \(\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {z - 2} \right| = \left| {z + 2i} \right| = 0\)

Đặt z = x + yi ta có z - 2 = x - 2 + y.i và z + 2i = x + (y + 2).i

Khi đó

\(\begin{array}{l}
\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2i} \right| \Leftrightarrow {\left( {z - 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\
 \Leftrightarrow  - 4x = 4y \Leftrightarrow x =  - y
\end{array}\)

Lại có 

\(\left| {{z^2}} \right| = \left| {z - \overline z } \right| \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2\left| y \right| \Leftrightarrow 2{y^2} = 2\left| y \right| \Leftrightarrow 2\left| y \right|.\left( {\left| y \right| - 1} \right) = 0\).

⇔ y = 0 hoặc \(y =  \pm 1\)

Do đó ta có các số z \(\in\) {0; 1; -i; -1+i; -2i} thỏa mãn

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán