Cho các số phức \({{Z}_{1}},{{Z}_{2}},{{Z}_{3}}\) thỏa mãn \(2\left| {{Z}_{1}} \right|=2\left| {{Z}_{2}} \right|=\left| {{Z}_{3}} \right|=2\)

Không mất tính tổng quát, giả sử z₃ = 2.

Do đó \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 3{z_1}{z_2}\) trở thành \(2\left( {{z_1} + {z_2}} \right) = 3{z_1}{z_2} \Leftrightarrow \frac{1}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} = \frac{3}{2}\)

Đặt \(\frac{1}{{{z_1}}} = x + yi\left( {x,y \in R} \right) =  > \frac{1}{{{z_2}}} = \left( {\frac{3}{2} - x} \right) - yi\)

Ta có: z₃ = 2 và \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) nên \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{{{z_1}}}} \right| = \left| {\frac{1}{{{z_2}}}} \right| = 1\) 

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
{\left( {\frac{3}{2} - x} \right)^2} + {y^2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{3}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
 - y =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}\\
 - y =  + \frac{{\sqrt 7 }}{4}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Do đó \({z_1} = \frac{3}{4} + \frac{{\sqrt 7 }}{4}i;{z_1} = \frac{3}{4} - \frac{{\sqrt 7 }}{4}i\)

Nên tọa độ các điểm là \(A\left( {\frac{3}{4};\frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right);B\left( {\frac{3}{4}; - \frac{{\sqrt 7 }}{4}} \right);C\left( {2;0} \right)\) 

Diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C;AB} \right) = \frac{1}{2}.2.\frac{{\sqrt 7 }}{4}.\left( {2 - \frac{3}{4}} \right) = \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}\)