Xét số phức z thỏa mãn (1+2i)|z|=(sqrt10)/z-2+i

Đặt \($z = a + bi\,(a,b \in \mathbb{R})\) và \(c = \left| z \right|,\) thay vào đẳng thức đã cho:

\(\begin{array}{l} \left( {1 + 2i} \right)c = \frac{{\sqrt {10} }}{{a + bi}} - 2 + i = \frac{{\sqrt {10} (a - bi)}}{{{c^2}}} - 2 + i\\ \Leftrightarrow c - \frac{{a\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 + i\left( {2c + \frac{{b\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1} \right) = 0 \end{array}\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l} c - \frac{{a\sqrt {10} }}{{{c^2}}} + 2 = 0\\ 2c + \frac{{b\sqrt {10} }}{{{c^2}}} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c + 2 = \frac{{a\sqrt {10} }}{{{c^2}}}\\ - 2c + 1 = \frac{{b\sqrt {10} }}{{{c^2}}} \end{array} \right.\)  

Nên: \({\left( {c + 2} \right)^2} + {(2c - 1)^2} = \frac{{10({a^2} + {b^2})}}{{{c^4}}} = \frac{{10}}{{{c^2}}}\)   

Giải ra: \(c=\pm1\) mà \(c > 0 \Rightarrow c = 1 \Rightarrow \left| z \right| = 1.\) 

Do đó:\(\frac{1}{2} < \left| z \right| < \frac{3}{2}.\)