Tùy theo giá trị của m hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P(x;y)=(mx+2y-2m)^2+(x+y-3)^2

Ta có \(P\left( {x;y} \right) \ge 0\), dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{mx + 2y - 2m = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array}} \right.\) (*)

\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&2\\1&1\end{array}} \right| = m - 2\)

Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\) thì hệ phương trình (*) có nghiệm do đó \(\min P\left( {x;y} \right) = 0\) .

Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow m = 2\) ta có \(P\left( {x;y} \right) = {\left( {2x + 2y - 4} \right)^2} + {\left( {x + y - 3} \right)^2} = 5{\left( {x + y} \right)^2} - 22\left( {x + y} \right) + 25\)

\( \Rightarrow P\left( {x;y} \right) = 5{\left( {x + y - \frac{{11}}{5}} \right)^2} + \frac{4}{5} \ge \frac{4}{5}\)

Suy ra \(\min P\left( {x;y} \right) = \frac{4}{5} \Leftrightarrow x + y - \frac{{11}}{5} = 0\)

Vậy \(m \ne 2\) thì \(\min P\left( {x;y} \right) = 0\), \(m = 2\) thì \(\min P\left( {x;y} \right) = \frac{4}{5}\).