Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\). Biết rằng \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) và đường thẳng \(BN\) có phương trình \(2x + 9y - 34 = 0\). Khi đó, tọa độ \(B\left( {a;\,\,b} \right),\,\,\left( {a < 0} \right)\). Tính \({a^2} + {b^2}\).

Đường thẳng \(BN\) có phương trình \(2x + 9y - 34 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{BN}} = \left( {2;\,\,9} \right)\).

Gọi \({\vec n_{AB}} = \left( {u;\,\,v} \right)\) với \({u^2} + {v^2} > 0\).

\( \Rightarrow \cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AB}}.\,{{\vec n}_{BN}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AB}}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_{BN}}} \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {2a + 9b} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {9^2}} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {2a + 9b} \right|}}{{\sqrt {85} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}\)  \(\left( 1 \right)\)

Xét tam giác \(BMN\) vuông tại \(M\) ta có:

\(B{N^2} = B{M^2} + M{N^2}\)\( = \dfrac{{A{B^2}}}{4} + A{B^2} = \dfrac{5}{4}A{B^2}\)\( \Rightarrow BN = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}AB\)

\(\cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{BM}}{{BN}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AB}}{{AB.\sqrt {\dfrac{5}{4}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)  và \(\left( 2 \right)\)  ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left| {2u + 9v} \right|}}{{\sqrt {85} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {2u + 9v} \right)^2} = 17\left( {{u^2} + {v^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4{u^2} + 36uv + 81{v^2} = 17{u^2} + 17{v^2}\\ \Leftrightarrow 13{u^2} - 36uv - 64{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 13{u^2} - 52uv + 16uv - 64{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 13u\left( {u - 4v} \right) + 16b\left( {u - 4v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - 4v} \right)\left( {13u + 16v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u - 4v = 0\\13u + 16v = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4v\\13u =  - 16v\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4v\\u =  - \dfrac{{16}}{{13}}v\end{array} \right.\end{array}\)

Trường hợp 1: \(u = 4v\)\( \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {4v;\,\,v} \right) = \left( {4;\,\,1} \right)\)

PTTQ của đường thẳng đi qua \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( {4;\,\,1} \right)\) là VTPT có dạng là :

\(\begin{array}{l}4.\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x + y = 0\end{array}\)

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 34 = 0\\4x + y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 9y = 34\\4x + y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 4\end{array} \right.\,\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow a =  - 1,\,b = 4\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {4^2} = 17\)

Trường hợp 2: \(u =  - \dfrac{{16}}{{13}}v\)\( \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {u =  - \dfrac{{16}}{{13}}v;\,\,v} \right)\)\( = \left( { - \dfrac{{16}}{{13}};\,\,1} \right)\)

PTTQ của đường thẳng đi qua \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( { - \dfrac{{16}}{{13}};\,\,1} \right)\) là VTPT có dạng là :

\(\begin{array}{l} - \dfrac{{16}}{{13}}.\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{16}}{{13}}x + y - \dfrac{{34}}{{13}} = 0\end{array}\)

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 34 = 0\\ - \dfrac{{16}}{{13}}x + y - \dfrac{{34}}{{13}} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 9y = 34\\ - \dfrac{{16}}{{13}}x + y = \dfrac{{34}}{{13}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{5}\\y = \dfrac{{18}}{5}\end{array} \right.\,\left( {ktm} \right)\)

\( \Rightarrow \) Loại

Chọn C.