Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều 2 đường thẳng và

Gọi \(A \in {d_1};B \in {d_2}\) sao cho AB là đường vuông góc chung của \({d_1};{d_2}\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} A \in {d_1};B \in {d_2} \Rightarrow A\left( { - a + 2;a;a} \right);B\left( {2b; - b + 1; - b + 2} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2b + a - 2; - b + 1 - a; - b + 2 - a} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} AB \bot {d_1}\\ AB \bot {d_2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \left( {2b + a - 2} \right) + \left( { - b + 1 - a} \right) + \left( { - b + 2 - a} \right) = 0\\ 2\left( {2b + a - 2} \right) - \left( { - b + 1 - a} \right) - \left( { - b + 2 - a} \right) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;1;1} \right);B\left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {0; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \end{array}\)

 Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với AB nên:

 \(\begin{array}{l} \left( P \right):0x - \frac{1}{2}\left( {y - \frac{{1 + \frac{1}{2}}}{2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {x - \frac{{1 + \frac{3}{2}}}{2}} \right) = 0\\ \Rightarrow \left( P \right): - y + z - \frac{1}{2} = 0 \end{array}\)