Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y - 2z + 2015 = 0. Gọi là góc nhỏ nhất mà mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng (P). Giá trị của là

(Q) đi qua A nên:

\(\left( Q \right):a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) + c\left( {z + 1} \right) = 0\)

(Q) đi qua B nên:

\(\begin{array}{l} a.\left( {0 - 1} \right) + b.\left( {4 - 2} \right) + c.\left( {0 + 1} \right) = 0\\ \Rightarrow - a + 2b + c = 0 \Rightarrow a = 2b + c\\ \Rightarrow \left( Q \right):\left( {2b + c} \right)\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) + c\left( {z + 1} \right) = 0\\ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {2b + c;b;c} \right)\\ \left( P \right):2x - y - 2z + 2015 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\\ \Rightarrow cos\left( {\widehat {\left( P \right);\left( Q \right)}} \right) = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right|\\ \Rightarrow cos\left( {\widehat {\left( P \right);\left( Q \right)}} \right) = \frac{{\left| {2\left( {2b + c} \right) - b - 2c} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2b + c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }}\\ \Rightarrow cos\left( \alpha \right) = \frac{{\left| {3b} \right|}}{{3.\sqrt {5{b^2} + 4bc + 2{c^2}} }} \end{array}\)

Ta cần tìm \({\alpha _{\min }} \Leftrightarrow {\left( {cos\alpha } \right)_{max}}\)

\(cos\alpha = \frac{{\left| {3b} \right|}}{{3.\sqrt {5{b^2} + 4bc + 2{c^2}} }} = \frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {3{b^2} + 2{{\left( {b + c} \right)}^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Dấu "=" xảy ra khi: b = -c