Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{x-13}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{4}\) và mặt cầu \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z-67=0\). Qua d dựng các mặt phẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại \({{T}_{1}},\,\,{{T}_{2}}\). Tìm tọa độ trung điểm H của \({{T}_{1}}{{T}_{2}}\).

\((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z-67=0\) có tâm \(I\left( 1;2;3 \right)\), bán kính \(R=9\).

Gọi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(d\).

+) Tìm tọa độ điểm M:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)qua I vuông góc d có phương trình:

\(\begin{align}  & -1\left( x-1 \right)+1\left( y-2 \right)+4\left( z-3 \right)=0\Leftrightarrow -x+y+4z-13=0 \\ & M\in d\Rightarrow M\left( 13-t;-1+t;4t \right) \\ & M\in \left( \alpha  \right)\Rightarrow -\left( 13-t \right)+\left( -1+t \right)+4.4t-13=0\Leftrightarrow 18t-27=0\Leftrightarrow t=\frac{3}{2} \\ & \Rightarrow M\left( \frac{23}{2};\frac{1}{2};6 \right)\Rightarrow IM=\frac{9\sqrt{6}}{2} \\\end{align}\)

* Xét mặt phẳng qua I và vuông góc \(d\):

H là trung điểm của  \({{T}_{1}}{{T}_{2}}\Rightarrow \)\(H={{T}_{1}}{{T}_{2}}\cap IM\)

Khi đó,  \(IH=\frac{{{R}^{2}}}{IM}=\frac{81}{\frac{9\sqrt{6}}{2}}=3\sqrt{6}\Rightarrow \frac{IH}{IM}=\frac{3\sqrt{6}}{\frac{9\sqrt{6}}{2}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{IH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{IM}\)

Ta có: \(\overrightarrow{IH}=\left( {{x}_{H}}-1;{{y}_{H}}-2;{{z}_{H}}-3 \right);\,\,\,\,\overrightarrow{IM}=\left( \frac{21}{2};-\frac{3}{2};3 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & {{x}_{H}}=8 \\ & {{y}_{H}}=1 \\ & {{z}_{H}}=5 \\\end{align} \right.\Rightarrow H\left( 8;1;5 \right)\) 

Chọn: A