Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng \(({d_m}):y = x + m\) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2\)

1) Phương trình hoành độ giao điểm \({x^{\rm{2}}} - 4x + 3 = x + m \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 3 - m = 0\) (1)

Đường thẳng \((d_m)\) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt  khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 13 + 4m > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{{13}}{4}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 5\\
{x_1}{x_2} = 3 - m
\end{array} \right.\)

\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2{x_1}{x_2}\\
{x_1}{x_2} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5 = 2(3 - m)\\
m \ne 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn)

2) Với \(m = 1 \Rightarrow y =  - 2x + 3\). Hàm số nghịch biến trên R. Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với \(m \ne 1\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;2)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
m - 1 > 0\\
\frac{m}{{m - 1}} \ge 2
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow 1 < m \le 2\)

Vậy \(1 \le m \le 2\).