Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn $\overrightarrow {NB{\kern 1pt} {\kern 1pt} } - 3\overrightarrow {NC{\kern 1pt} {\kern 1pt} } = \overrightarrow {0{\kern 1pt} {\kern 1pt} }$. Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính tỉ số $\frac{{PA}}{{PC}}$.

1)

Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Đặt $\overrightarrow {AP}  = k\overrightarrow {AC}$.

$\overrightarrow {GP}  = \overrightarrow {AP}  - \overrightarrow {AG}  = k\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)$

$= \left( {k - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$.

$\overrightarrow {GN}  = \overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {MN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BC}  = \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{7}{6}\overrightarrow {AC}  - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}$

Ba điểm G, P, N thẳng hàng nên hai vectơ $\overrightarrow {GP} ,\overrightarrow {GN}$ cùng phương. Do đó $\frac{{k - \frac{1}{3}}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{{ - \frac{1}{3}}}{{ - \frac{5}{6}}} \Leftrightarrow \frac{{k - \frac{1}{3}}}{{\frac{7}{6}}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow k - \frac{1}{3} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow k = \frac{4}{5} \Rightarrow \overrightarrow {AP{\kern 1pt} }  = \frac{4}{5}\overrightarrow {AC{\kern 1pt} }$

$\Rightarrow AP = \frac{4}{5}AC \Rightarrow \frac{{PA}}{{PC}} = 4$

2)

Đặt $S = {S_{ABC}}$ thì từ giả thiết suy ra

      $\begin{array}{l} {S_{EAK}} + {S_{KBH}} + {S_{HCE}} = \frac{3}{4}S\\  \Rightarrow \frac{{{S_{EAK}}}}{S} + \frac{{{S_{KBH}}}}{S} + \frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{3}{4} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{{{S_{EAK}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}AE.AK\sin A}}{{\frac{1}{2}AB.AC\sin A}} = \frac{{AE}}{{AB}}.\frac{{AK}}{{AC}} = \cos A.\cos A = {\cos ^2}A\\ \frac{{{S_{KBH}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}BK.BH.\sin B}}{{\frac{1}{2}AB.BC\sin B}} = \frac{{BK}}{{BC}}.\frac{{BH}}{{AB}} = \cos B.\cos B = {\cos ^2}B\\ \frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{{\frac{1}{2}CH.CE.\sin C}}{{\frac{1}{2}AC.BC\sin C}} = \frac{{CH}}{{AC}}.\frac{{CE}}{{BC}} = \cos C.\cos C = {\cos ^2}C\\ \frac{{{S_{EAK}}}}{S} + \frac{{{S_{KBH}}}}{S} + \frac{{{S_{HCE}}}}{S} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = \frac{3}{4}\\  \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}A + 1 - {\sin ^2}B + 1 - {\sin ^2}C = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\sin ^2}B + {\sin ^2}C = \frac{9}{4} \end{array}$

3) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + y - 3 = 0\\ x - 7y + 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.$. Vậy A(2;1).

Phương trình các đường phân giác của góc A là $\frac{{x + y - 3}}{{\sqrt 2 }} =  \pm \frac{{x - 7y + 5}}{{5\sqrt 2 }}$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{l} x + 3y - 5 = 0\\ 3x - y - 5 = 0 \end{array} \right.{\rm{  }}\begin{array}{*{20}{c}} {({d_1})}\\ {({d_2})} \end{array}$

Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao.

Xét trường hợp $d_1$ là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.

Phương trình đường thẳng BC là $3x - y + 7 = 0$.

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + y - 3 = 0\\ 3x - y + 7 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =  - 1\\ y = 4 \end{array} \right. \Rightarrow B( - 1;4)$ .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x - 7y + 5 = 0\\ 3x - y + 7 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =  - \frac{{11}}{5}\\ y = \frac{2}{5} \end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - \frac{{11}}{5};\frac{2}{5}} \right)$.  

$\overrightarrow {MB}  = ( - 2; - 6),\overrightarrow {MC}  = \left( { - \frac{{16}}{5}; - \frac{{48}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC}  = \frac{8}{5}\overrightarrow {MB}  \Rightarrow M$ nằm ngoài đoạn BC. Trường hợp này không thỏa mãn.

Nếu $d_2$ là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

Phương trình đường thẳng BC là $x + 3y - 31 = 0$.

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + y - 3 = 0\\ x + 3y - 31 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x =  - 11\\ y = 14 \end{array} \right. \Rightarrow B( - 11;14)$ .

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x - 7y + 5 = 0\\ x + 3y - 31 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{101}}{5}\\ y = \frac{{18}}{5} \end{array} \right. \Rightarrow C\left( {\frac{{101}}{5};\frac{{18}}{5}} \right)$  .

$\overrightarrow {MB}  = ( - 12;4),\overrightarrow {MC}  = \left( {\frac{{96}}{5}; - \frac{{32}}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC}  =  - \frac{8}{5}\overrightarrow {MB}  \Rightarrow M$ thuộc đoạn BC.

Vậy $A(2;1),B( - 11;14),C\left( {\frac{{101}}{5};\frac{{18}}{5}} \right)$.