-
Câu hỏi:
Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(xy + yz + xz = 3\).
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\).
Lời giải tham khảo:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^3} + 8} = \sqrt {(x + 2)({x^2} - 2x + 4)} \le \frac{{(x + 2) + ({x^2} - 2x + 4)}}{2}\, = \frac{{{x^2} - x + 6}}{2}\\
\Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} \ge \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}}
\end{array}\)Tương tự, ta cũng có \(\frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} \ge \frac{{2{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}};\,\,\,\,\,\frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge \frac{{2{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}\).
Từ đó suy ra:
\(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge \frac{{2{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}} + \frac{{2{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}} + \frac{{2{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}\). (1)
Chứng minh bổ đề: Cho \(x,\,y > 0\) và \(a,\,b \in R\) ta có: \(\frac{{{a^2}}}{x} + \frac{{{b^2}}}{y} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{{a^2}y + {b^2}x}}{{xy}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{x + y}} \Leftrightarrow \left( {{a^2}y + {b^2}x} \right)\left( {x + y} \right) \ge xy{\left( {a + b} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {ay - bx} \right)^2} \ge 0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\).
Áp dụng bổ đề ta có
\(2\left[ {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 6}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} - y + 6}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}} \right] \ge 2\left[ {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} - \left( {x + y} \right) + 12}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} - z + 6}}} \right]\)
\( \ge \frac{{2{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18}}\).
Đến đây, ta chỉ cần chứng minh:
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{2{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18}} \ge 1\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Do \(\,\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18\)
\(\begin{array}{l}
= {\left( {x + y + z} \right)^2} - \left( {x + y + z} \right) - 2\left( {xy + yz + zx} \right) + 18\\
= {\left( {x + y + z} \right)^2} - \left( {x + y + z} \right) + 12 > 0
\end{array}\)Nên \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow 2{(x + y + z)^2} \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) + 18\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z \ge 6{\rm{ }}\) (4)
Mặt khác, do \(x, y, z\) là các số dương nên ta có:
\(\begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx = 3\,\,\\
x + y + z \ge \sqrt {3(xy + yz + zx)} = 3
\end{array}\)Nên bất đẳng thức (4) đúng.
Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 1\).
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng
CÂU HỎI KHÁC
- Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng \(({d_m}):y = x + m\) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2\)
- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\ {x^2}y + {x^2} - 2x - 12 = 0 \end{array} \right.\,\,\)
- Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn \(\overrightarrow {NB{\kern 1pt} {\kern 1pt} } - 3\overrightarrow {NC{\kern 1pt} {\kern 1pt} } = \overrightarrow {0{\kern 1pt} {\kern 1pt} } \). Gọi P là giao điểm của AC và GN, tính tỉ số \(\frac{{PA}}{{PC}}\).
- Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?
- Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 8} }} + \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{y^3} + 8} }} + \frac{{{z^2}}}{{\sqrt {{z^3} + 8} }} \ge 1\)