Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC.

Vì dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...\) là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng  cạnh \(\times \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Với n = 1 thì tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh bằng 3 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có bán kính \({R_1} = 3.\frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow {S_1} = \pi {\left( {3.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\).

Với n = 2 thì tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) có cạnh bằng 3/2 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) có bán kính \({R_2} = 3.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow {S_2} = \pi {\left( {3.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\).

Với n = 3 thì tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) có cạnh bằng 3/4 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_3}{B_3}{C_3}\) có bán kính \({R_3} = 3.\frac{1}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow {S_3} = \pi {\left( {3.\frac{1}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\).

...................

Như vậy tam giác đều \({A_n}{B_n}{C_n}\) có cạnh bằng \(3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có bán kính \({R_n} = 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow {S_n} = \pi {\left( {3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}\).

Khi đó ta được dãy S₁, S₂, ...S_n... là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({u_1} = {S_1} = 3\pi \) và công bội \({u_1} = {S_1} = 3\pi \).

Do đó tổng \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 4\pi \)