YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho dãy số (un) thỏa mãn \({u_1} = \sqrt 2 \) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {2 + {u_n}} \) với mọi \(n \ge 1\). Tìm u2018.

    • A. \({u_{2018}} = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{{{2^{2017}}}}\)
    • B. \({u_{2018}} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{2019}}}}\)
    • C. \({u_{2018}} = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{{{2^{2018}}}}\)
    • D. \({u_{2018}} = 2\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    Ta có:

    \({u_1} = \sqrt 2 = 2\cos \frac{\pi }{4} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^2}}}\)

    \({u_2} = \sqrt {2 - \sqrt 2 } = 2\cos \frac{\pi }{8} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^3}}}\)

    Dự đoán: \({u_n} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\).

    Chứng minh theo quy nạp ta có.

    \({u_1} = 2\cos \frac{\pi }{4} = \sqrt 2 \), công thức (1) đúng với n = 1. Giả sử công thức (1) đúng với n = k, \(k \ge 1\) ta có \({u_k} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}\).

    Ta có:

    \({u_{k + 1}} = \sqrt {2 + {u_k}} = \sqrt {2 + 2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}} = \sqrt {2\left( {1 + \cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}}} \right)} = \sqrt {4{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}} \right)} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}}\)

    (vì \(0 < \frac{\pi }{{{2^{k + 2}}}} < \frac{\pi }{2}\) với mọi \(k \ge 1\)).

    Công thức (1) đúng với n = k + 1.

    Vậy \({u_n} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{n + 1}}}}\), \(\forall n \in N\). Suy ra \({u_{2018}} = 2\cos \frac{\pi }{{{2^{2019}}}}\).

    ATNETWORK

Mã câu hỏi: 190971

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON