Cho hai cấp số cộng như sau (left( {{a_n}} ight):{a_1} = 4,{a_2} = 7,...,{a_{100}}) và (left( {{b_n}} ight):{b_1} = 1,{b_2} = 6,...

Cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right):{a_1} = 4,{a_2} = 7,...,{a_{100}}\) có số hạng tổng quát: \({a_n} = 4 + \left( {n - 1} \right)3 = 3n + 1\).

Cấp số cộng \(\left( {{b_n}} \right):{b_1} = 1,{b_2} = 6,...,{b_{100}}\) có số hạng tổng quát: \({b_m} = 1 + \left( {m - 1} \right)5 = 5m - 4\).

Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l} 3n + 1 = 5m - 4\\ 1 \le n \le 100\\ 1 \le m \le 100 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3n = 5\left( {m - 1} \right)\\ 1 \le n \le 100\\ 1 \le m \le 100 \end{array} \right.\)

Vì \(3n = 5\left( {m - 1} \right)\) nên \(n \vdots 5\) và \(m - 1 \vdots 3\) với m - 1 > 0

Ta lại có \(n \le 100 \Rightarrow 3n \le 300 \Rightarrow 5\left( {m - 1} \right) \le 300 \Leftrightarrow m \le 61\).

Có \(m - 1 \vdots 3 \Rightarrow m = 3t + 1,t \in {N^*}\). Vì \(1 \le m \le 61 \Leftrightarrow 1 \le 3t + 1 \le 61 \Leftrightarrow 0 \le t \le 20\).

Vì \(t \in N* \Rightarrow t = \left\{ {1;2;3;...;20} \right\}\).

Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên.