Cho hình vuông (C1) có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (C2) (Hình vẽ).

Câu hỏi:
Cho hình vuông (C₁) có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (C₂) (Hình vẽ).

Từ hình vuông (C₂) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông (C1), (C₂), (C3),., (Cn)... Gọi S_i là diện tích của hình vuông \({C_i}\,\left( {i \in \left\{ {1,2,3,.....} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ...{S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính a?
- A. 2
- B. 2,5
- C. \(\sqrt 2 \)
- D. \(2\sqrt 2 \)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A
Cạnh của hình vuông (C₂) là: \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\). Do đó diện tích \({S_2} = \frac{5}{8}{a^2} = \frac{5}{8}{S_1}\).

Cạnh của hình vuông (C₃) là: \({a_3} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}{a_2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}{a_2}} \right)}^2}} = \frac{{{a_2}\sqrt {10} }}{4} = a{\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2}\).

Do đó diện tích \({S_3} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2}{a^2} = \frac{5}{8}{S_2}\). Lý luận tương tự ta có các S₁, S₂, S₃...S_n tạo thành một dãy cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = S₁ và công bội \(q = \frac{5}{8}\).

\(T = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{8{a^2}}}{3}\). Với \(T = \frac{{32}}{3}\) ta có \({a^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2\).

Lưu ý: Đây là câu hỏi tự luận.

ATNETWORK