Số thực dương a thỏa mãn diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm \(y=\frac{{{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\) và \(y=\frac{{{a}^{2}}-ax}{1+{{a}^{6}}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tỉ số diện tích hình phẳng được giới hạn bởi mỗi đồ thị trên với trục hoành, x=0, x=1 là

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là:

\(\frac{{{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}=\frac{{{a}^{2}}-ax}{1+{{a}^{6}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( x+a \right)\left( x+2a \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-a\,\,\, \\ x=-2a \\ \end{matrix} \right.\)

Nếu a=0 thì diện tích hình phẳng S=0.

+ Nếu a>0 thì \(S=\int\limits_{-2a}^{-a}{\left| \frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}} \right|\text{d}x=}-\int\limits_{-2a}^{-a}{\frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\text{d}x=}\frac{1}{6}.\frac{{{a}^{3}}}{1+{{a}^{6}}}\)

+ Nếu a<0 thì \(S=\int\limits_{-a}^{-2a}{\left| \frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}} \right|\text{d}x=}-\int\limits_{-a}^{-2a}{\frac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}\text{d}x=}-\frac{1}{6}.\frac{{{a}^{3}}}{1+{{a}^{6}}}\)

Do đó, với \(a\ne 0\) thì \(S=\frac{1}{6}.\frac{{{\left| a \right|}^{3}}}{1+{{\left| a \right|}^{6}}}\le \frac{1}{6}.\frac{{{\left| a \right|}^{3}}}{2{{\left| a \right|}^{3}}}=\frac{1}{12}\).

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \({{\left| a \right|}^{3}}=1\Leftrightarrow a=\pm 1\). Vì a>0 nên a=1.

Khi đó \({{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x+3}{2}\text{d}x}=\frac{13}{6}\,,{{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1-x}{2}\text{d}x}=\frac{1}{4}\)

Suy ra \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{26}{3}\).