Cho phương trình \({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }6;8]\). Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S.

Ta có \({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\)

\(\Leftrightarrow {{2}^{\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)={{2}^{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2}}.{{\log }_{3}}\left( \left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{2}^{t}}.{{\log }_{3}}t\) với \(t\ge 2\); Ta có \({f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2.{{\log }_{3}}t+{{2}^{t}}.\frac{1}{t\ln 3}>0\forall t\ge 2\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 2;+\infty  \right)\).

Do đó phương trình tương đương với \(\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|=\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|\quad \left( 1 \right)\).

Vẽ đồ thị hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) từ đó suy ra đồ thị \(\left| g\left( x \right) \right|\) và đồ thị của \(\left| g\left( \left| x \right| \right) \right|\) như hình vẽ.

Từ đồ thị suy ra \(\left( 1 \right)\) có 6,7,8 nghiệm \(\Leftrightarrow 0<\left| g\left( \left| m \right| \right) \right|<3\).

Suy ra các giá trị nguyên của m là -3,-2,-1,0,1,2,3.

Vậy S=28.