Lập phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với (S), song song với \(\left( \alpha \right)\) và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương biết cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 12z + 10 = 0\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4;3; - 12} \right)\)

Vì \(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right) \Rightarrow \left( \beta  \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4;3; - 12} \right)\) làm VTPT.

\( \Rightarrow \left( \beta  \right):4x + 3y - 12z + d = 0.\left( {d \ne 10} \right)\) 

Ta có: (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính \(R = \sqrt {1 + {2^2} + {3^2} + 2}  = 4\).

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( \beta  \right)} \right) = R\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{12}^2}} }} = 4\\
 \Leftrightarrow \left| {d - 26} \right| = 52 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
d - 26 = 52\\
d - 26 =  - 52
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
d = 78\\
d =  - 26
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {{\beta _1}} \right):4x + 3y - 12z + 78 = 0\\
\left( {{\beta _2}} \right):4x + 3y - 12z - 26 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\) 

Gọi \(M\left( {0;0;{z_0}} \right)\,\,\left( {{z_0} > 0} \right)\) là giao điểm của Oz và các mặt phẳng \(\left( {{\beta _1}} \right),\left( {{\beta _2}} \right)\) 

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
M \in \left( {{\beta _1}} \right) \Rightarrow  - 12{z_0} + 78 = 0 \Leftrightarrow {z_0} = \frac{{13}}{2}\left( {tm} \right)\\
M \in \left( {{\beta _2}} \right) \Rightarrow  - 12{z_0} - 26 = 0 \Leftrightarrow {z_0} = -\frac{{13}}{6}\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\)