Đặt điện áp xoay chiều \(u=220 \sqrt{2} \cos 100 \pi t(V)\) vào hai đầu mạch điện gồm điện trở thuần, tụ điện có điện dung C thay đổi được và cuộn cảm thuần có độ tự cảm \(L=\frac{1}{\pi }\left( H \right)\)

Đáp án : A

Cảm kháng của cuộn cảm thuần là: \({{Z}_{L}}=\omega L=100\left( \Omega \right)\)

Dung kháng của tụ điện là:

\(\left\{ \begin{align}& {{Z}_{{{C}_{1}}}}=\frac{1}{\omega {{C}_{1}}}=100\left( \Omega \right) \\& {{Z}_{{{C}_{2}}}}=\frac{1}{\omega {{C}_{2}}}=300\left( \Omega \right) \\\end{align} \right.\)

Vì ZC1 < ZC2 nên khi mắc C1 mạch có tính cảm kháng, khi mắc C2 mạch có tính dung kháng.

Khi điện dung có giá trị C1, hệ số công suất của mạch điện là:

\(\cos {{\varphi }_{1}}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C1}} \right)}^{2}}}}=1\)

Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện là:

\({{U}_{{{C}_{1}}}}=\frac{U}{Z}.{{Z}_{{{C}_{1}}}}=\frac{100U}{R}\,\,\left( 1 \right)\)

Khi điện dung có giá trị C2, tổng trở của mạch là:

\(Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}\)

Hiệu điện thế giữa hai đầu tụ điện là:

\({{U}_{{{C}_{2}}}}=\frac{U}{Z}.{{Z}_{{{C}_{2}}}}=\frac{300U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}}\,\,\left( 2 \right)\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{align}& {{U}_{{{C}_{1}}}}={{U}_{{{C}_{2}}}}\Rightarrow \frac{100U}{R}=\frac{300U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}}\Rightarrow R=10\sqrt{50}\left( \Omega \right) \\& \Rightarrow \cos {{\varphi }_{2}}=\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{200}^{2}}}}=\frac{10\sqrt{50}}{\sqrt{5000+{{200}^{2}}}}=\frac{10\sqrt{50}}{30\sqrt{50}}=\frac{1}{3} \\& \Rightarrow \frac{\cos {{\varphi }_{1}}}{\cos {{\varphi }_{2}}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3. \\\end{align}\)