Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( -20;20 \right)\) để với mọi cặp hai số \(\left

Ta có \({{e}^{3x+y}}-{{e}^{2x-2y+1}}=1-x-3y\)\(\Leftrightarrow {{e}^{3x+y}}+3x+y={{e}^{2x-2y+1}}+2x-2y+1\,\,(*)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{e}^{t}}+t\) có \({f}'\left( t \right)={{e}^{t}}+1>0,\,\forall t\).Do đó:

\((*)\Leftrightarrow f\left( 3x+y \right)=f\left( 2x-2y+1 \right)\)\(\Leftrightarrow 3x+y=2x-2y+1\)\(\Leftrightarrow x+y=1-2y>1\).

Khi đó ta có

\(\log _{3}^{2}\left( 2x+4y-1 \right)+2\left( m-1 \right){{\log }_{3}}\left( 1-2y \right)+{{m}^{2}}-9>0\)

\(\Leftrightarrow \log _{3}^{2}\left( 1-2y \right)+2\left( m-1 \right){{\log }_{3}}\left( 1-2y \right)+{{m}^{2}}-9>0\)

Đặt \(u={{\log }_{3}}\left( 1-2y \right),\,\,u>0\), yêu cầu bài toán trở thành tìm m để bất phương trình\({{u}^{2}}+2\left( m-1 \right)u+{{m}^{2}}-9>0,\,\,\forall u>0\)

Khi đó ta xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: \({\Delta }'<0\Leftrightarrow 10-2m<0\Leftrightarrow m>5\).

Trường hợp 2: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 0\\
 - \frac{b}{{2a}} \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10 - 2m = 0\\
1 - m \le 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = 5\\
m \ge 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 5
\end{array}\)

Trường hợp 3: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' > 0\\
P \ge 0\\
S < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2m + 10 > 0\\
{m^2} - 9 \ge 0\\
 - 2\left( {m - 1} \right) < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow 3 \le m < 5
\end{array}\)

Kết hợp các trường hợp ta được \(m\ge 3\).

Kết hợp điều kiện ta được \(m\in \left\{ 3;\,\,4;\,...;\,\,19 \right\}\).

Có 17 giá trị m thỏa mãn.