Cho hình chóp đều S.ABC có góc giữa hai mặt bên và mặt đáy bằng 60 độ

Do \(S.ABC\) là hình chóp đều nên hình chiếu của \(S\) trên\(\left( ABC \right)\) trùng với trọng tâm \(G\) của đáy. Gọi I là trung điểm của \(BC\). Ta có \(AI\bot BC\),\(SI\bot BC\) nên góc giữa mặt bên \(\left( SBC \right)\) và mặt đáy là góc\(\widehat{SIA}=60{}^\circ \). Kẻ \(GK\bot SA\Rightarrow GK=\frac{a}{\sqrt{7}}\)

Giả sử cạnh đáy hình chóp có độ dài là \(x\) ta có \(GA=\frac{x\sqrt{3}}{3},SG=GI.\tan 60{}^\circ =\frac{x\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{x}{2}.\)

Trong tam giác vuông \(SAG\) ta có \(\frac{1}{G{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{G}^{2}}}+\frac{1}{S{{G}^{2}}}\)\(\Leftrightarrow \frac{7}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{4}{{{x}^{2}}}\Rightarrow x=a\)

\(SA=\sqrt{S{{G}^{2}}+A{{G}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{3}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}\)

Ta có \(\left( SAB \right)\cap \left( SAC \right)=SA\). Trong \(\left( SAB \right)\) kẻ \(BM\bot SA\)

Do \(\Delta SAB=\Delta SAC(c.c.c)\)\(\Rightarrow CM\bot SA\)

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\) là góc \(\widehat{BMC}=\alpha \).

+ Tính \(BM\): \(p=\frac{SA+SB+AB}{2}=\frac{\frac{a\sqrt{21}}{6}+\frac{a\sqrt{21}}{6}+a}{2}=\frac{3+\sqrt{21}}{6}a\)

\({{S}_{\Delta SAB}}=\sqrt{p(p-SA)(p-SB)(p-AB)}=\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{2}}\)

\(BM=\frac{2{{S}_{\Delta SAB}}}{SA}=\frac{2.\frac{\sqrt{3}}{6}{{a}^{2}}}{a\frac{\sqrt{21}}{6}}=\frac{2a\sqrt{7}}{7}\)\(\Rightarrow MI=\sqrt{M{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\frac{3a\sqrt{7}}{14}\)

+ \(\Delta MBC\) cân nên có \(MI\bot BC\) và \(\widehat{BMI}=\frac{\alpha }{2}\):\(\tan {\mkern 1mu} \frac{\alpha }{2} = \frac{{MI}}{{MB}} = \frac{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}}{{\frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}.\)