Có bao nhiêu số nguyên x để tồn tại số thực y thỏa mãn \({{\log }_{3}}\left( x+y \right)={{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\)?

Đặt \({\log _3}\left( {x + y} \right) = {\log _4}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = {3^t}\\
{x^2} + {y^2} = {4^t}
\end{array} \right.\)

Do đó (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right):x+y-{{3}^{t}}=0\) và đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R={{2}^{t}}\)

Điều kiện tồn tại giao điểm này là \(d\left( O,d \right)\le R\Leftrightarrow \frac{{{3}^{t}}}{\sqrt{2}}\le {{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow t\le {{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt{2}\)

Dễ thấy hoành độ giao điểm x luôn thỏa mãn \(-R\le x\le R\Leftrightarrow -{{2}^{t}}\le x\le {{2}^{t}}\). Mà \(t\le {{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt{2}\) nên \(0<{{2}^{t}}\le {{2}^{{{\log }_{\frac{3}{2}}}\sqrt{2}}}<2\)\(\Rightarrow\) -2 < x < 2

Mà \(x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{ -1;0;1 \right\}\)

Ta đi thử lại

.-Với x=-2 ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
y = 1 + {3^t}\\
{y^2} = {4^t} - 1
\end{array} \right. \Rightarrow {4^t} - 1 = {\left( {1 + {3^t}} \right)^2} \Leftrightarrow {9^t} + {2.3^t} + 2 - {4^t} = 0\). Xét \(f\left( t \right)={{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}+2-{{4}^{t}}\). Nếu t<0 thì \(2-{{4}^{t}}>0\), còn \(t\ge 0\) thì \({{9}^{t}}\ge {{4}^{t}}\). Do đó \(f\left( t \right)={{9}^{t}}+{{2.3}^{t}}+2-{{4}^{t}}>0\text{ }\forall t\), hay phương trình vô nghiệm.

-Với x=0 ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
y = {3^t}\\
{y^2} = {4^t}
\end{array} \right. \Rightarrow {4^t} = {6^t} \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow y = 1(tm)\).

-Với x=1 ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
y = {3^t} - 1\\
{y^2} = {4^t} - 1
\end{array} \right. \Rightarrow t = 0 \Rightarrow y = 0\).

Vậy x=0 hoặc x=1.