Có bao nhiêu số nguyên a \(\left( a>3 \right)\) để phương trình \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) có nghiệm \(x>81\).

Xét \(\log \left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\) (1)

+ Với \(x>81\), suy ra \({\log _3}x > 4\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\left( {{{\log }_3}x} \right)^{\log a}} + 3 > 0\\ {\log _3}x - 3 > 0 \end{array} \right.\).

+ Ta có (1) \(\Leftrightarrow \log a.{{\log }_{a}}\left[ {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right]={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{a}}{{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{a}}\left( {{\log }_{3}}x-3 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\left( {{\left( {{\log }_{3}}x \right)}^{\log a}}+3 \right)}^{\log a}}={{\log }_{3}}x-3\).

+ Đặt \(y={{\log }_{3}}x\Rightarrow y>4\).

Đặt \(m=\log a>0\). Ta có phương trình \({{\left( {{y}^{m}}+3 \right)}^{m}}=m-3\) (2).

+ Đặt \(t={{y}^{m}}+3>0\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {t^m} = y - 3\\ t = {y^m} + 3 \end{array} \right. \Rightarrow {y^m} + y = {t^m} + t\) (3).

+ Xét hàm \(f\left( t \right)={{t}^{m}}+t\) với \(m>0,\,\,t>0\) có \(f\left( t \right)=m.{{t}^{m-1}}+1>0,\,\,\forall t>0\).

Suy ra \(f\left( t \right)={{t}^{m}}+t\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,;+\,\infty  \right)\).

+ Do đó (3) \(\Leftrightarrow y=t\Leftrightarrow y={{y}^{m}}+3\Leftrightarrow {{y}^{m}}=y-3\Leftrightarrow m.\log y=\log \left( y-3 \right)\) \(\Leftrightarrow m=\frac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}\)

Với \(y>4\) ta được: \(0<\frac{\log \left( y-3 \right)}{\log y}<1\).

Do a nguyên và a>3 nên \(a\in \left\{ 4\,;5\,;6\,;7;8\,;9 \right\}\).