YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại hai điểm \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn \({{x}_{2}}={{x}_{1}}+2\) ; \(f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0\) và \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{5}{4}\). Tính \(L=\underset{x\to \,{{x}_{1}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\,f\left( x \right)-2\,}{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}\).

    • A. -1
    • B. -2
    • C. -3
    • D. -4

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Giả sử \(f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\)\(\left( a\ne 0 \right)\).

    \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {x_1}\\ x = {x_2} = {x_1} + 2 \end{array} \right.\).

    Suy ra: \({f}'\left( x \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\)

    \(\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{1}}-2 \right)\)

    \(\Rightarrow {f}'\left( x \right)=3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}-6a\left( x-{{x}_{1}} \right)\).

    Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

    \(f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+C\).

    Khi đó \(f\left( {{x}_{1}} \right)=C\) và \(\,\,\,\,f\left( {{x}_{2}} \right)=a{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+C=8a-12a+C=C-4a\).

    Mà \(f\left( {{x}_{1}} \right)+\,\,f\left( {{x}_{2}} \right)=0\), nên \(C+C-4a=0\)\(\Leftrightarrow C=2a\).

    Suy ra \(f\left( x \right)=a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2a\).

    Mặt khác \(\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{f\left( x \right)\text{d}x=\frac{5}{4}}\,\,\Leftrightarrow \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{1}}+1}{\left[ a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2a \right]\text{d}x=\frac{5}{4}}\)

    \(\Leftrightarrow \left. \left[ \frac{a}{4}{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{4}}-a{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}+2ax \right]_{{}}^{{}} \right|_{\,{{x}_{1}}}^{\,{{x}_{1}}+1}=\frac{5}{4}\)\(\Leftrightarrow \left[ \frac{a}{4}-a+2a\left( {{x}_{1}}+1 \right) \right]-2a{{x}_{1}}=\frac{5}{4}\)  \(\Leftrightarrow a=1\).

    Do đó: \(f\left( x \right)={{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+2\).

    Vậy \(L=\underset{x\to \,{{x}_{1}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-2}{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=\underset{x\to \,{{x}_{1}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{3}}-3{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}{{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}}}=\underset{x\to \,{{x}_{1}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \left( x-{{x}_{1}} \right)-3 \right]=-\,3\).

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 277275

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF