Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng ?

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx - \left( {2{m^2} - 7m + 7} \right)\)

Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì ta xét 2 trường hợp sau:

TH1: Hàm số luôn đồng biến trên R:

\(\Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 3\left( {2{m^2} - 7m + 7} \right) \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 3 \le 0,\left( {VL} \right)\)

Vậy không có giá trị nào của m để hàm số luôn đồng biến trên R,

TH2: Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

\(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 3 > 0,\left( {\forall x \in R} \right)\) .

Giả sử \({x_1},{x_2},\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của phương trình y' = 0, để Hàm số đồng biến trong khoảng  \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì:

\({x_1} < {x_2} \le 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{S}{2} \le 2\\
\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0,(1)
\end{array} \right.\)

Theo định lí vi-et ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{3}\\
{x_1}{x_2} = \frac{{ - 2{m^2} + 7m - 7}}{3}
\end{array} \right.\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m \le 6\\
\frac{{ - 2{m^2} + 7m - 7}}{3} - 2\left( {\frac{{2m}}{3}} \right) + 4 \ge 0 \Leftrightarrow  - 2{m^2} + 3m + 5 \ge 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le 6\\
 - 1 \le m \le \frac{5}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le m \le \frac{5}{2}
\end{array}\)

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thì hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).