Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AA' và BB' đường thẳng CE cắt đường thẳng C'A' tại E', đường thẳng CF cắt đường thẳng C'B' tại F'. Thể tích khối đa diện EFB'A'E'F' bằng

Câu hỏi:
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AA' và BB' đường thẳng CE cắt đường thẳng C'A' tại E', đường thẳng CF cắt đường thẳng C'B' tại F'. Thể tích khối đa diện EFB'A'E'F' bằng
- A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
- B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
- C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)
- D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{12}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C

Thể tích khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' là

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.1 = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\).

Gọi M là trung điểm AB \( \Rightarrow CM \bot \left( {ABB'A'} \right)\) và \(CM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Do đó, thể tích khối chóp là: \({V_{C.ABFE}} = \frac{1}{3}{S_{C.ABFE}}.CH = \frac{1}{3}.1.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\).

Thể tích khối đa diện A'B'C'EFC là:

\({V_{A'B'C'EFC}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{C.ABFE}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4} - \frac{{\sqrt 3 }}{{12}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Do A' là trung điểm C'E' nên:

\(d\left( {E',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 2d\left( {A',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

\({S_{CC'F'}} = {S_{F'B'F}} + {S_{FB'C'C}} = {S_{FBC}} + {S_{FB'C'C}} = {S_{BCC'B'}} = 1\).

Thể tích khối chóp E'.CC'F' là

\({V_{E'.CC'F'}} = \frac{1}{3}{S_{CC'F'}}.d\left( {E',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{1}{3}.1.\sqrt 3 = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Thể tích khối đa diện EFA'B'E'F' bằng

\({V_{EFA'B'E'F'}} = {V_{E'.CC'F'}} - {V_{A'B'C'EFC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) .

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE