Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình \(x^2 - (2m + 1)x + m^2+ 1 = 0 ;( 1 )\)

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{\Delta }} > 0 \Leftrightarrow {{(2m + 1)}^2} - 4({m^2} + 1) > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} - 4 > 0}\\ { \Leftrightarrow 4m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{4}.} \end{array}\)

Vậy m>3/4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Với m>3/4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2m + 1\\ {x_1}{x_2} = {m^2} + 1 \end{array} \right.\\ \to {({x_1} + {x_2})^2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 - 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} = {(2m + 1)^2} - 4({m^2} + 1) = 4m - 3 = {x_1}\\ \to {x_2} = 2m + 1 - {x_1} = 2m + 1 - 4m - 3 = 4 - 2m\\ \to {x_1}{x_2} = {m^2} + 1\\ \Leftrightarrow (4m - 3)(4 - 2m) = {m^2} + 1\\ \to 9{m^2} - 22m + 13 = 0 \Leftrightarrow (m - 1)(9m - 13) = 0\\ \to \left[ \begin{array}{l} m - 1 = 0\\ 9m - 3 = 0 \end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = \frac{{13}}{9} \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy có 2 giá trị thỏa mãn điều kiện bài toán.