Cho $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y = 2.$ Tìm giá trị lớn nhất của $A = xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right).$

Ta có: $A = xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right)$ $= xy\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)$$= xy\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right]$

Mà $x + y = 2\,\, \Rightarrow A = xy.2.\left( {{2^2} - 3xy} \right)$ $= 2xy\left( {4 - 3xy} \right) = 8xy - 6{\left( {xy} \right)^2}$

$\Rightarrow A =  - 6\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} - \dfrac{4}{3}xy} \right]$$=  - 6\left[ {{{\left( {xy} \right)}^2} - 2.\dfrac{2}{3}xy + \dfrac{4}{9} - \dfrac{4}{9}} \right]$

 $\begin{array}{l} =  - 6\left[ {{{\left( {xy - \dfrac{2}{3}} \right)}^2} - \dfrac{4}{9}} \right]\\ = \dfrac{8}{3} - 6{\left( {xy - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \le \dfrac{8}{3}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{\left( {xy - \dfrac{2}{3}} \right)^2} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\y = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\y = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $\dfrac{8}{3}$.