Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC  \(\left( {H \in BC} \right)\). Gọi M là trung điểm của BH.

a) Xét hai tam giác AMH và NMB có:

MA = MN (gt)

MB = MH (M là trung điểm BH)

\(\widehat {AMH} = \widehat {BMN}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta AMH = \Delta NMB\left( {c.g.c} \right)\)

Vì \(\Delta AMH = \Delta NMB\left( {c.g.c} \right)\) nên góc H = góc B

Mà \(\widehat H = {90^0}\) nên \(\widehat B = \widehat H = {90^0}\) (yttu)

Do đó \(BC\bot NB\)

b) Ta có AH = NB (do \(\Delta AMH = \Delta NMB\left( {c.g.c} \right)\))

Vì AH là đường cao của tam giác cân ABC nên AH < AB 

Do đó NB < AB

c) Ta có \(\widehat {MAH} = \widehat {MNB}\) (do \(\Delta AMH = \Delta NMB\left( {c.g.c} \right)\))

Vì NB < AB nên góc BAM < góc MNB (quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác ABN)

Do đó góc BAM < góc MAH

d) Vì tam giác ABC cân tại A có AH vuông BC nên AH đồng thời là đường trung trực BC

Mặt khác, I nằm trên đường trung trực BC nên A, H, I thẳng hàng