Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.1.

1. Chứng minh bốnđiểm B, E, F, C cùngthuộc (I)

I là trungđiểmcủa BC

2. Chứng minh \(\widehat {KEB} = \widehat {KCF}\)

Chứng minh \(\Delta\)DKFC ∽ \(\Delta\)DKBE (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{KF}}{{KB}} = \frac{{KC}}{{KE}} \Rightarrow KE.KF = KB.KC\)

3. Chứng minh \(\widehat {KMB} = \widehat {KCA}\) (cùng bù với \(\widehat {AMB}\))

Chứng minh \(\Delta\)KMB ∽\(\Delta\)KCA (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{KM}}{{KC}} = \frac{{KB}}{{KA}} \Rightarrow KB.KC = KM.KA\)

Mà KB.KC = KE.KF (c/m phần b)

=> KM.KA = KE.KF

Chứng minh \(\Delta\)KME ∽\(\Delta\)KFA (c.g.c) => \(\widehat {KAF} = \widehat {KEM}\)

Lậpluậnđể tứ giác AEFM nộitiếp

=> \(\widehat {KAC} = \widehat {KFM}\) (cùngbù với \(\widehat {MFE}\))

4. 

Vẽ đường kính AN =>\(\widehat {AMN} = {90^o}\) => NM \( \bot \) AM (1)

Chứng minh tứ giác AEHF nộitiếp

Lập luận dẫnđến 5 điểm A, M, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH => \(\widehat {AMH} = {90^o}\) => MH \( \bot \) AM (2)

Từ (1) và (2) => M, H, N thẳnghàng (3)

Chứng minh tứ giác BHCN là hìnhbìnhhành

Lập luận dẫn đến H, I, N thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) => M, H, I thẳnghàng.