Cho số phức z thỏa |z-i|=|z-1+2i| tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=(2-i)z+1 là một đường thẳng

Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\). Khi đó:

\(\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Rightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 2} \right)i} \right|\)

\(\Rightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2}\)

\(\Rightarrow a = 3b + 2\)

\(w = \left( {2 - i} \right)\left( {a + bi} \right) + 1 \Rightarrow w = 2a + b + 1 + \left( {2b - a} \right)i\)

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w có dạng \(M\left( {2a + b + 1;2b - a} \right)\) hay \(M\left( {7b + 5; - b - 2} \right).\)

Do đề bài đã cho biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức M là một đường thẳng nên ta chỉ cần tìm tọa độ 2 điểm M là có thể viết phương trình đường thẳng đó.

Với \({b_1} = 0 \Rightarrow {M_1}(5; - 2);\,{{\bf{b}}_2} = - 1 \Rightarrow {M_2}( - 2; - 1)\)  

Vậy phương trình đường thẳng biểu diễn số phức w là:

\((x + 2) + 7(x + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 7y + 9 = 0.\)