Tìm môđun của số phức z thỏa (3+i)|z|=(-2+14i)/z+1-3i

Ta có: \(\left( {3 + i} \right)\left| z \right| = \frac{{ - 2 + 14i}}{z} + 1 - 3i \Leftrightarrow \left( {3\left| z \right| - 1} \right) + \left( {\left| z \right| + 3} \right)i = \frac{{ - 2 + 14i}}{z}\)

Khi đó mođun của số phức bên trái biểu thức là \(\sqrt {{{\left( {3\left| z \right| - 1} \right)}^2} + {{\left( {\left| z \right| + 3} \right)}^2}} = \sqrt {10\left( {{{\left| z \right|}^2} + 1} \right)}\)

Mođun của số phức bên phải \(\left| {\frac{{ - 2 + 14i}}{z}} \right| = \frac{{\left| { - 2 + 14i} \right|}}{{\left| z \right|}} = \frac{{10\sqrt 2 }}{{\left| z \right|}}\)

Do đó \(10\left( {{{\left| z \right|}^2} + 1} \right) = \frac{{200}}{{{{\left| z \right|}^2}}}\). Đặt \(a = \left| z \right| \Rightarrow {a^2} + 1 = \frac{{20}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2.\)