Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB=AC=B{B}'=a;\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(C{C}'\). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((A{B}'I)\) bằng

Câu hỏi:
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB=AC=B{B}'=a;\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(C{C}'\). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((A{B}'I)\) bằng
- A. \(\frac{\sqrt{21}}{7}\).
- B. \(\frac{\sqrt{30}}{20}\).
- C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
- D. \(\frac{\sqrt{30}}{10}\).
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( AB'I \right).\)

Do tam giác \(ABC\) là hình chiếu của tam giác \(AB'I\) trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) nên ta có

\({{S}_{ABC}}={{S}_{AB'I}}.\cos \alpha \)

\({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin {{120}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

\(AB{{'}^{2}}=AA{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}=2{{a}^{2}}.\)

\(A{{I}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}\)

\(C'B{{'}^{2}}=C'A{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}-2.A'B'.A'C'.\cos {{120}^{0}}=3{{a}^{2}}.\)

\(B'{{I}^{2}}=B'C{{'}^{2}}+C'{{I}^{2}}=3{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{13{{a}^{2}}}{4}.\)

Có \(AB{{'}^{2}}+A{{I}^{2}}=B'{{I}^{2}}\Rightarrow \Delta AB'I\) vuông tại \(A.\)

\({{S}_{AB'I}}=\frac{1}{2}.AB'.AI=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{4}.\) Do đó \(\cos \alpha =\frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{AB'I}}}=\frac{\sqrt{30}}{10}.\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE