Cho hàm số \(y=f(x)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới ​ Số điểm cực trị của hàm số \(g(x)=f({{x}^{3}}+f(x))\) là

Từ đồ thị ta thấy hàm số trên có phương trình là \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}.\) Vậy ta có:

\(f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) và \(f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-4x\)

\(g'\left( x \right)=\left( f\left( {{x}^{3}}+f\left( x \right) \right) \right)'=\left( {{x}^{3}}+f\left( x \right) \right)'f'\left( {{x}^{3}}+f\left( x \right) \right)=\left( 3{{x}^{2}}+f'\left( x \right) \right)f\left( {{x}^{3}}+f\left( x \right) \right).\)

Suy ra \(g'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+f'\left( x \right) \right)f'\left( {{x}^{3}}+f\left( x \right) \right)=\left( 3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-4x \right)f'\left( {{x}^{3}}+{{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right).\)

\(g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 3{{x}^{2}}+4{{x}^{3}}-4x \right)f'\left( {{x}^{3}}+{{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4{x^3} + 3{x^2} - 4x = 0\\ {x^4} + {x^3} - 2{x^2} = 1\\ {x^4} + {x^3} - 2{x^2} = - 1\\ {x^4} + {x^3} - 2{x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4{x^3} + 3{x^2} - 4x = 0\\ {x^4} + {x^3} - 2{x^2} - 1 = 0\\ {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 1 = 0\\ {x^4} + {x^3} - 2{x^2} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x \approx 0,6930\\ x \approx - 1,4430\\ x \approx 1,21195\\ x \approx - 2,0754\\ x \approx - 0,6710\\ x \approx - 1,9051\\ x = 1\\ x = - 2 \end{array} \right.\)

Phương trình \(g'\left( x \right)=0\) có đúng 8 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội lẻ \(x=0.\)

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) có 9 điểm cực trị.